Saltar al contenido

Polygongeometri: Pentagons, Hexagons och Dodecagons

7 de agosto de 2021
compass desk geometry 376689 75b6df236a204cee96e7eda24e30a845

Få geometriska former är lika olika som polygoner. De inkluderar den välkända triangeln, fyrkanten och femkanten, men det är bara början. I geometri är en polygon vilken tvådimensionell form som helst som uppfyller följande villkor:

  • Består av tre eller flera raka linjer
  • Är stängd utan öppningar eller raster i formen
  • Har par linjer som ansluter i hörnen eller hörnen där de bildar vinklar
  • Har lika många sidor och inre vinklar

Tvådimensionell betyder platt som ett papper. Kuber är inte polygoner eftersom de är tredimensionella. Cirklar är inte polygoner eftersom de inte innehåller raka linjer. En speciell typ av polygon kan ha vinklar som inte alla är lika. I det här fallet kallas det en oregelbunden polygon.

Om polygoner

Namnet polygon kommer från två grekiska ord:

  • Poly, som betyder många
  • Gon, som betyder vinkel

Former som är polygoner

  • Trigon (triangel): 3 sidor
  • Tetragon (fyrkant): 4 sidor
  • Pentagoner: 5 sidor
  • Sexkant: 6 sidor
  • Heptagon: 7 sidor
  • Åttkantar: 8 sidor
  • Nonagon: 9 sidor
  • Dekagon: 10 sidor
  • Undecagon: 11 sidor
  • Dodecagons: 12 sidor

Hur heter polygoner

Vanliga polygoner och deras inre vinklar

Namnen på enskilda polygoner härrör från antalet sidor eller hörn som formen har. Polygoner har samma antal sidor och hörn. Det vanliga namnet för de flesta polygoner är det grekiska prefixet för «sidor» fäst vid det grekiska ordet för hörn (gon). Exempel på detta för fem och sexsidiga regelbundna polygoner är:

  • Penta (Grekiska betyder fem) + gon = femkant
  • Hexa (Grekiska betyder sex) + gon = sexhörning

Det finns undantag från detta namnordning. Framför allt med ord som är vanligare för vissa polygoner:

  • Triangel: Använder det grekiska prefixet Tri, men i stället för den grekiska gon, det latinska vinkel är använd. Trigon är det rätta geometriska namnet men används sällan.
  • Fyrsidig: Hämtat från det latinska prefixet quadri, betyder fyra, fäst vid ordet lateral, vilket är ett annat latinskt ord som betyder sida.
  • Fyrkant: Ibland kallas en fyrsidig polygon (en kvadrat) som en fyrhörning eller tetragon.

N-Gons

Polygoner med mer än 10 sidor påträffas sällan men följer samma grekiska namnkonvention. Så en 100-sidig polygon kallas en hektogon. I matematik kallas emellertid femkantar ibland mer bekvämt som n-gons:

  • 11-gon: Hendecagon
  • 12-gon: Dodecagon
  • 20-gon: Icosagon
  • 50-gon: Pentecontagon
  • 1000-gon: Chiliagon
  • 1000000 gon: Megagon

I matematik används n-gons och deras grekiska-namngivna motsvarigheter omväxlande.

Polygon Limit

Teoretiskt sett finns det ingen gräns för antalet sidor en polygon kan ha. När storleken på en polygons inre vinklar blir större och sidornas längd blir kortare, närmar sig polygonen en cirkel, men den når aldrig riktigt dit.

Klassificering av polygoner

Regelbunden, oregelbunden, komplex, enkel sexkant

Regelbundna kontra oregelbundna polygoner

Polygoner klassificeras baserat på om alla vinklar eller sidor är lika eller inte.

  • Regelbunden polygon: Alla vinklar är lika stora och alla sidor lika långa.
  • Oregelbunden polygon: Har inte lika stora vinklar eller sidor av lika längd.

Konvex kontra konkava polygoner

Ett andra sätt att klassificera polygoner är med storleken på deras inre vinklar.

  • Konvexa polygoner: Har inga inre vinklar större än 180 °.
  • Konkave polygoner: Ha minst en inre vinkel som är större än 180 °.

Enkel kontra komplexa polygoner

Ett annat sätt att klassificera polygoner är hur linjerna som bildar polygonen skär varandra.

  • Enkla polygoner: Linjerna ansluter eller skär varandra bara en gång – vid hörnen.
  • Komplexa polygoner: Linjerna skär varandra mer än en gång.

Namnen på komplexa polygoner skiljer sig ibland från enkla polygoner med samma antal sidor. Till exempel:

  • En vanlig form sexhörning är en sexsidig, enkel polygon.
  • En stjärnformad hexagram är en sexsidig, komplex polygon skapad genom att överlappa två liksidiga trianglar.

Summan av regeln för inre vinklar

Beräkning av en polygons inre vinklar

Som regel läggs varje sida till en polygon, till exempel:

  • Från en triangel till fyrkant (tre till fyra sidor)
  • Från en femkant till en sexkant (fem till sex sidor)

ytterligare 180 ° läggs till summan av de inre vinklarna. Denna regel kan skrivas som en formel:

(n – 2) × 180 °

där n är lika med antalet sidor av polygonen. Så summan av de inre vinklarna för en sexkant kan hittas med hjälp av formeln:

(6 – 2) × 180 ° = 720 °

Hur många trianglar i den polygonen?

Ovanstående inre vinkelformel härleds genom att dela en polygon i trianglar, och detta nummer kan hittas med beräkningen:

n – 2

I denna formel är n lika med antalet sidor av polygonen. En sexkant (sex sidor) kan delas in i fyra trianglar (6 – 2) och en dodecagon i 10 trianglar (12 – 2).

Vinkelstorlek för vanliga polygoner

För vanliga polygoner, där alla vinklar är lika stora och sidorna är lika långa, kan storleken på varje vinkel i en polygon beräknas genom att dividera den totala storleken på vinklar (i grader) med det totala antalet sidor. För en vanlig sexsidig sexkant är varje vinkel:

720 ° ÷ 6 = 120 °

Några välkända polygoner

Octagon - En vanlig åttasidig oktagon

Välkända polygoner inkluderar:

Fackverk

Takstolar är ofta triangulära. Beroende på takets bredd och lutning kan fackverket innehålla liksidiga eller likbent trianglar. På grund av sin stora styrka används trianglar vid konstruktion av broar och cykelramar. De är framträdande i Eiffeltornet.

Pentagon

Pentagon – huvudkontoret för det amerikanska försvarsdepartementet – tar sitt namn från sin form. Byggnaden är en femsidig, vanlig femkant.

Hemplatta

En annan välkänd femsidig vanlig femkant är hemmaplattan på en basebolls diamant.

Den falska Pentagon

Ett gigantiskt köpcentrum nära Shanghai, Kina, är byggt i form av en vanlig pentagon och kallas ibland Fake Pentagon.

Snöflingor

Varje snöflinga börjar som en sexkant, men temperatur och fuktnivåer lägger till grenar och rankor så att alla ser olika ut.

Bin och getingar

Naturliga sexhörningar inkluderar också bikupor, där varje cell i en bikaka som bina konstruerar för att hålla honung är sexkantig. Boet av pappers getingar innehåller också sexkantiga celler där de uppfostrar sina ungar.

Giant’s Causeway

Sexkantar finns också i Giant’s Causeway i nordöstra Irland. Det är en naturlig bergformation bestående av cirka 40 000 sammanlänkade basaltkolonner som skapades som lavan från ett gammalt vulkanutbrott som långsamt svalnade.

Octagon

Octagon – namnet på ringen eller buren som används i Ultimate Fighting Championship (UFC) -kampar – tar sitt namn från sin form. Det är en åttasidig vanlig åttkant.

Stoppskyltar

Stoppskylten-en av de mest kända trafikskyltarna-är ytterligare en åttasidig vanlig åttkant. Även om färgen, formuleringen eller symbolerna på skylten kan variera, används den åttkantiga formen för stoppskylten i många länder runt om i världen.